Question

20．已知关于x的一元二次方程x²-（m+6）x+3m+8=0的两个实数根分别为x₁、x₂．
（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；
（2）若n=x₁+x₂-3，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（1，4），并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出该一元二次方程的△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0?方程有两个不相等的实数根；△=0?方程有两个相等的实数根；△＜0?方程没有实数根即可得出答案．
（2）根据x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$和n=x₁+x₂-3，表示出n，再把点A（1，4）代入，即可得出答案．

解答 解：（1）∵△=（m+6）²-4（3m+8）=m²+12m+36-12m-32=m²+4＞0，
∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根；

（2）动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（1，4）；
理由：
∵x₁+x₂=m+6，n=x₁+x₂-3，
∴n=m+3，
∵当m=1时，n=4，
∴动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（1，4）．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0?方程有两个不相等的实数根；△=0?方程有两个相等的实数根；△＜0?方程没有实数根．