Question

13．已知菱形ABCD一个内角等于120°，BD=2cm，则菱形的边长为2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cm，面积为2$\sqrt{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cm²．

Answer 1

分析 分两种情况：①当BD为短对角线时，先证明△ABD是等边三角形，得出AB=BD，再由勾股定理求出AC，菱形面积=$\frac{1}{2}$AC•BD，即可求出面积；
②当BD为长对角线时，先由锐角三角函数求出OA，AC，再根据含30°的直角三角形的性质得出AB，根据菱形面积=$\frac{1}{2}$AC•BD，即可得出结果．

解答 解：分两种情况：①当BD为短对角线时，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴AB=AD，∠BAD=60°，AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD=1，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD=2cm，
∴OA=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$；
②当BD为长对角线时，如图2所示：
∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∴AB=AD，∠ABC=60°，AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD=1，∠OBA=30°，
∴OA=OB•tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AB=2OA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×2=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
故答案为2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cm；2$\sqrt{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$cm²．

点评 本题考查了菱形的性质、勾股定理的运用、锐角三角函数以及含30°的直角三角形的性质；本题需要分类讨论，避免漏解．