Question

3．在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P为AB上一个动点，作PM⊥AC于M，作PN⊥BD于N，那么PM+PN的值是定值（填“定值”或“变量”），若是定值，则PM+PN=2.4．

Answer 1

分析 根据矩形的性质得出∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，求出OA=OB=OC=OD，由勾股定理求出AC=5，求出OA=OB=2.5，根据S_△AOB=S_△APO+S_△BPO和三角形的面积公式求出即可．

解答 解：定值，
理由是：
连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB=OC=OD，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5，
则OA=OB=2.5，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×3×4×$\frac{1}{2}$=3，
S_△AOB=S_△APO+S_△BPO=$\frac{1}{2}$×OA×PM+$\frac{1}{2}$×OB×PN=3，
∴$\frac{1}{2}$×2.5×PM+$\frac{1}{2}$×2.5×PN=3，
解得：PM+PN=2.4，
即不论P怎样运动，PM+PN的值总是2.4，
故答案为：定值，2.4．

点评 本题考查了矩形的性质，三角形的面积的应用，能得出等式$\frac{1}{2}$×2.5×PM+$\frac{1}{2}$×2.5×PN=3是解此题的关键，注意：矩形的对角线互相平分且相等，矩形的四个角都是直角，难度适中．