Question

16．如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，现给出以下四个结论：
（1）PE=PF；（2）BE=AF；（3）S_{四边形AEPF}=4；（4）EF=AP；
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中是正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质得：AP⊥BC，AP=$\frac{1}{2}$BC，AP平分∠BAC．所以可证∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即证得△APE与△CPF全等．根据全等三角形性质判断结论是否正确．

解答 解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，
∴AP⊥BC，AP=$\frac{1}{2}$BC=PC，∠BAP=∠CAP=45°=∠C．
∵∠APF+∠FPC=90°，∠APF+∠APE=90°，
∴∠FPC=∠EPA．
在△APE和△CPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠BAP}\\{AP=PC}\\{∠EPA=∠FPC}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CPF（ASA）．
∴AE=CF，PE=PF，故（1）正确，
∵AB=AC，
∴AB-AE=AC-CF，
即BE=AF，故（2）正确；
∵△APE≌△CPF，
∴S_△APE=S_△CPF，
∴S_{四边形AEPF}=S_△APE+S_△APF=S_△CPF+S_△APF=S_△APC=$\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{2}×4×4$=4，
故（3）正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=$\frac{1}{2}$BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故（4）错误；
正确的有3个．
故选：C．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，综合性较强，解决本题的关键是证明△APE≌△CPF．