Question

6．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的半圆O与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，T是OB上的一点，OT=a（0＜a＜2），过A作AC⊥AB，且AC=AT，连接CP并延长交半圆于另一点Q，且Q恰为弧PB中点．
（1）写出Q的坐标．
（2）求直线CP的解析式及a的值．
（3）由点P发出的光线，经过T的反射后，反射光线是否通过点Q？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OQ，过点Q作QD⊥AB，垂足为D．由Q恰为弧PB中点可知OQ为∠POB的平分线，然后利用特殊锐角三角函数可求得点Q的坐标；
（2）由点P与点Q的坐标求得直线PC的解析式，然后将点C的横坐标代入解析式可求得点C的纵坐标，然后根据AC=AT从而可求得点T的横坐标，从而求得a的值；
（3）先求得TD的长，然后利用锐角三角函数的定义求得tan∠PTO=∠QTD，从而可知点由点P发出的光线，经过T的反射后，反射光线通过点Q．

解答 解：（1）连接OQ，过点Q作QD⊥AB，垂足为D．

∵Q恰为弧PB中点，
∴∠QOB=$\frac{1}{2}∠POB$=$\frac{1}{2}×90°$=45°．
∵OQ=2，
∴OD=OQ•cos45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，QD=OQ•sin45°=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$．
∴点Q的坐标为（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．
（2）设CP的解析式为y=kx+b．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}k+b=\sqrt{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1-\sqrt{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴直线PC的解析式为y=（1-$\sqrt{2}$）x+2．
将x=-2代入直线的解析式为y=2$\sqrt{2}$．
∴AT=AC=2$\sqrt{2}$．
∴a=2$\sqrt{2}$-2．
（3）由（1）可知：OD=$\sqrt{2}$，QD=$\sqrt{2}$，由（2）可知：OT=2$\sqrt{2}-2$．
∴TD=$\sqrt{2}-$（2$\sqrt{2}-2$）=2-$\sqrt{2}$．
∴tan∠QTD=$\frac{QD}{TD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}+1$，tan∠PTO=$\frac{OP}{OT}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}-2}$=$\sqrt{2}+1$．
∴∠QTD=∠PTO．
∴由点P发出的光线，经过T的反射后，反射光线能通过点Q．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，同时本题还考查的了锐角三角函数与待定系数法求函数的解析式，求得直线PC的解析式是解题的关键．