Question

13．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-3上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为（-$\sqrt{10}$，2）或（$\sqrt{10}$，2）或（-$\sqrt{2}$，-2）或（$\sqrt{2}$，-2）．

Answer 1

分析 根据切线的性质得点P到x轴的距离为2，即P点的纵坐标为2或-2，然后根据二次函数图象上点的坐标特征，分别计算出y=2或y=-2所对应的自变量的值，从而可确定P点坐标．

解答 解：∵⊙P与x轴相切，
∴点P到x轴的距离为2，
即P点的纵坐标为2或-2，
当y=2时，$\frac{1}{2}$x²-3=2，解得x₁=-$\sqrt{10}$，x₂=$\sqrt{10}$，则P点坐标为（-$\sqrt{10}$，2）或（$\sqrt{10}$，2）；
当y=-2时，$\frac{1}{2}$x²-3=-2，解得x₁=-$\sqrt{2}$，x₂=$\sqrt{2}$，则P点坐标为（-$\sqrt{2}$，-2）或（$\sqrt{2}$，-2），
综上所述，圆心P的坐标为（-$\sqrt{10}$，2）或（$\sqrt{10}$，2）或（-$\sqrt{2}$，-2）或（$\sqrt{2}$，-2）．
故答案为（-$\sqrt{10}$，2）或（$\sqrt{10}$，2）或（-$\sqrt{2}$，-2）或（$\sqrt{2}$，-2）．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．注意分类讨论思想的运用．