Question

4．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：BE=AD；
②求证：CF=CH；
③判断FH与BD的位置关系，并证明．

Answer 1

分析 ①由两三角形为等边三角形，得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS得到三角形ACH与三角形BCF全等，利用全等三角形的对应边相等即可的值；
②利用AAS得到三角形ACH与三角形BCF全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
③FH与BD平行，由两边相等且一角为60°的三角形为等边三角形得到三角形FCH为等边三角形，利用等边三角形的性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．

解答 证明：①∵△ABC与△ECD都为等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；
②∵△ACD≌△BCE，
∴∠HAC=∠FBC，
∵∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACH=60°，
在△ACH和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACH=∠BCF=60°}\\{∠HAC=∠FBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△BCF（AAS），
∴CF=CH；
③FH∥BD，理由为：
∵CF=CH，且∠FCH=60°，
∴△CFH为等边三角形，
∴∠HFC=∠ACB=60°，
∴FH∥BD．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．