Question

13．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB=120°，求证：
（1）△ACP∽△PDB，
（2）CD²=AC•BD．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，于是推出∠ACP=∠PDB=120°，等量代换得到∠BPD=∠CAP，根据相似三角形的性质得到结论；
（2）由相似三角形的性质得到$\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}$，根据等边三角形的性质得到PC=PD=CD，等量代换得到$\frac{AC}{CD}=\frac{CD}{BD}$，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
∵∠APB=120°，
∴∠APC+∠BPD=60°，
∵∠CAP+∠APC=60°
∴∠BPD=∠CAP，
∴△ACP∽△PDB；

（2）由（1）得△ACP∽△PDB，
∴$\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}$，
∵△PCD是等边三角形，
∴PC=PD=CD，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴CD²=AC•BD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．