题目内容
如图，已知PA切⊙O于A，∠APO=30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算| HC-HB |
| BC |
考点：圆的综合题
专题：综合题
分析：连OB、OC、OA，根据切线的性质得到OA⊥PA，即∠PAO=90°，易证得Rt△PAH∽Rt△POA，则PA：PO=PH：PA，即PA2=PH•PO，由切割线定理得PA2=PB•PC，则有PH•PO=PB•PC，根据三角形相似的判定得到△PBH∽△POC，则∠PBH=∠POC，
=
，即
=
①，根据四点共圆的判定方法得到点H、B、C、O四点共圆，利用在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等得到∠HOB=∠HCB，易证得△PBO∽△PHC，于是有
=
，即
=
②，由①②得
=
，即
=
，利用比例的性质得到
=
=
，则有
=
，由①得
=
=
，在Rt△OAP中，∠APO=30°，则OP=2OA，即可得到
的值．
| BH |
| OC |
| PB |
| PO |
| BH |
| PB |
| OC |
| PO |
| OB |
| HC |
| PO |
| PC |
| OB |
| PO |
| HC |
| PC |
| BH |
| PB |
| HC |
| PC |
| HC |
| BH |
| PC |
| PB |
| HC-BH |
| BH |
| PC-PB |
| PB |
| BC |
| PB |
| HC-HB |
| BC |
| BH |
| PB |
| HC-HB |
| BC |
| OC |
| PO |
| OA |
| OP |
| HC-HB |
| BC |
解答：解：连接OB、OC、OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠PAO=90°，
而AH⊥OP，
∴∠PHA=90°，
∴Rt△PAH∽Rt△POA，
∴PA：PO=PH：PA，即PA2=PH•PO，
又∵PBC为⊙O的割线，
∴PA2=PB•PC，
∴PH•PO=PB•PC，
∴△PBH∽△POC，
∴∠PBH=∠POC，
=
，即
=
①，
∴点H、B、C、O四点共圆，
∴∠HOB=∠HCB，
∴△PBO∽△PHC，
∴
=
，即
=
②，
由①②得
=
，即
=
，
∴
=
=
，
∴
=
，
∴
=
=
，
∵在Rt△OAP中，∠APO=30°，则OP=2OA，
∴
=
．
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠PAO=90°，
而AH⊥OP，
∴∠PHA=90°，
∴Rt△PAH∽Rt△POA，
∴PA：PO=PH：PA，即PA2=PH•PO，
又∵PBC为⊙O的割线，
∴PA2=PB•PC，
∴PH•PO=PB•PC，
∴△PBH∽△POC，
∴∠PBH=∠POC，
| BH |
| OC |
| PB |
| PO |
| BH |
| PB |
| OC |
| PO |
∴点H、B、C、O四点共圆，
∴∠HOB=∠HCB，
∴△PBO∽△PHC，
∴
| OB |
| HC |
| PO |
| PC |
| OB |
| PO |
| HC |
| PC |
由①②得
| BH |
| PB |
| HC |
| PC |
| HC |
| BH |
| PC |
| PB |
∴
| HC-BH |
| BH |
| PC-PB |
| PB |
| BC |
| PB |
∴
| HC-HB |
| BC |
| BH |
| PB |
∴
| HC-HB |
| BC |
| OC |
| PO |
| OA |
| OP |
∵在Rt△OAP中，∠APO=30°，则OP=2OA，
∴
| HC-HB |
| BC |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；四边形的对角互补，则四点在同一个圆上；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等；利用相似三角形的判定与性质证明比例线段，运用比例的性质以及含30度的直角三角形三边的关系进行几何计算．
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| B、1000m2 |
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