Question

求证：对任何整数a，a^4n+k与a^k的个位数字相同（n、k都是整数）．

Answer 1

考点：尾数特征

专题：

分析：由于一个整数n次方的尾数等于其尾数n次方的尾数，所以先分别计算0-9的n次方尾数变化规律，发现0-9的n次方的尾数均遵循周期为4的循环规律，即可得证．

解答：解：∵0的任何次方都是0，遵循周期为1的循环规律，
1的任何次方都是1，遵循周期为1的循环规律，
2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32，…，即2的n次方的尾数依次为2，4，8，6，…，遵循周期为4的循环规律，
3¹=3，3²=9，3³=27，3⁴=81，3⁵=243，…，即3的n次方的尾数依次为3，9，7，1，…，遵循周期为4的循环规律，
4¹=4，4²=16，4³=64，4⁴=256，4⁵=1024，…，即4的n次方的尾数依次为4，6，…，遵循周期为2的循环规律，
5的任何次方尾数都是5，遵循周期为1的循环规律，
6的任何次方尾数都是6，遵循周期为1的循环规律，
7¹=7，7²=49，7³=343，7⁴=2401，7⁵=16807，…，即7的n次方的尾数依次为7，9，3，1，…，遵循周期为4的循环规律，
8¹=8，8²=64，8³=512，8⁴=4096，8⁵=32768，…，即8的n次方的尾数依次为8，4，2，6，…，遵循周期为4的循环规律，
9¹=9，9²=81，9³=729，9⁴=6561，…，即9的n次方的尾数依次为9，1，…，遵循周期为2的循环规律，
∴0-9的n次方的尾数均遵循周期为4的循环规律，
又∵任何一个整数n次方的尾数等于其尾数n次方的尾数，
∴对任何整数a，a^4n+k与a^k的个位数字相同（n、k都是整数）．

点评：本题考查了整数的尾数特征，难度中等，通过计算发现0-9的n次方的尾数均遵循周期为4的循环规律是解题的关键．