Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D在AB上，BE平分∠ABC交AC于点E，以BD为直径的圆经过点E，交BC于点F．
（1）求证：AC为⊙O的切线；
（2）若AB=10，BC=6，求BF的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）根据切线的判定定理，垂直经过半径外端直线是圆的切线，连接OE，只要得出EO⊥EC即可得出；
（2）由勾股定理求得AC，根据平行线的性质，求得△AOE∽△ABC，从而求得AE：OE：OA=AC：BC：AB=4：3：5，设AE=4x，则OE=3x，OA=5x，由OE=OD=3x，求得AD=OA-OD=2x，进而求得AD=2x=

5

2

，BD=10-

5

2

=

15

2

，连接DF，根据DF∥AC，求得

BF

BC

=

BD

AB

，即可求得BF的长．

解答：（1）证明：连接OE，
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠ABE=∠EBC，
∵∠ABE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴AC是⊙O的切线，

（2）解：Rt△ABC中，AB=10，BC=6，则AC=8；
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC，
∴AE：OE：OA=AC：BC：AB=4：3：5，
在Rt△AOE中，设AE=4x，则OE=3x，OA=5x；
∵OE=OD=3x，
∴AD=OA-OD=2x，
由于AB=AD+BD=2x+6x=10，故x=

5

4

，
∴AD=2x=

5

2

，
∴BD=10-

5

2

=

15

2

，
连接DF，
∵BD是直径，
∴∠BFD=90°，
∵∠C=90°，
∴DF∥AC，
∴

BF

BC

=

BD

AB

，
∴BF=

BC•BD

AB

=

6× 15 2

10

=4.5．

点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．