Question

如图，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥AE于点F，若BE=1，AB=3，则PF的长为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形

专题：

分析：连接AP．根据四边形ABCD是正方形的性质得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，证△ABP≌△CBP，推出PA=PC，∠3=∠4，求出∠3=∠5，得出△APE是等腰直角三角形，求出AE，即可求出PE．

解答：解：连接AP．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，

AB=BC ∠ABP=∠CBP BP=BP

，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠3=∠4，
∵PE=PC，
∴PA=PE，
∵PE=PC，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
又∵∠ANP=∠ENB，
∴∠3+∠ANP=∠5+∠ENB=90°，
∴AP⊥PE，即△APE是等腰直角三角形，
∵BE=1，AB=3，
∴AE=

12+32

=

10

，
∴PE=

AE

2

=

10

2

=

5

．
∴PF=

2

2

PE=

10

2

．
故答案是：

10

2

．

点评：本题考查了正方形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．