Question

4．【感受联系】在初二的数学学习中，我们感受过等腰三角形与直角三角形的密切联系．等腰三角形作底边上的高线可转化为直角三角形，直角三角形沿直角边翻折可得到等腰三角形等等．
【探究发现】某同学运用这一联系，发现了“30°角所对的直角边等于斜边的一半”．并给出了如下的部分探究过程，请你补充完整证明过程
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
求证：BC=$\frac{1}{2}$AB．
证明：
【灵活运用】该同学家有一张折叠方桌如图2①所示，方桌的主视图如图2②．经测得OA=OB=90cm，OC=OD=30cm，将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB=120°．求：桌面与地面的高度．

Answer 1

分析 【探究发现】取AB的中点D，连接CD．根据直角三角形的性质得到CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，推出△DBC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论；
【灵活运用】：过O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于点F根据等腰三角形的性质得到∠A=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：【探究发现】
如图1，取AB的中点D，连接CD．
∵在Rt△ABC中，点D是AB的中点，
∴CD=DB=$\frac{1}{2}$AB，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△DBC是等边三角形，
∴BC=CD=DB，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB；

【灵活运用】：如图②，过O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于点F
∵OA=OB，∠AOB=120°
∴∠A=30°，
在Rt△AOE中，OA=90，∠A=30°
∴OE=45，
同理：OF=15，
所以，桌面与地面的高度是60cm．

点评 本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．