Question

12．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-1，0），（3，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD、CD．
（1）求点C、D的坐标及四边形ABDC的面积．
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA、PB，使S_△PAB=S_{四边形ABDC}？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
（3）点P是线段CD上的一个动点，连接PA、PB，当点P在CD上移动时（不与C、D重合）给出下列结论：①$\frac{∠CAP+∠DBP}{∠APB}$的值不变；②$\frac{∠CAP+∠APB}{∠DBP}$的值不变；其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这个结论并求其值．

Answer 1

分析 （1）根据平移规律，直接得出点C，D的坐标，根据：四边形ABDC的面积=AB×OC求解；
（2）存在．设点P到AB的距离为h，则S_△PAB=$\frac{1}{2}$×AB×h，根据S_△PAB=S_{四边形ABDC}，列方程求h的值，确定P点坐标．
（3）当点P在线段CD上，作PM∥AC交AB于点M，得到∠APM=∠CAP，因为AC∥BD，所以PM∥BD，得到∠BPM=∠DBP，所以∠APB=∠APM+∠BPM=∠CAP+∠DBP，即可解答．

解答 解：（1）依题意，得C（0，2），D（4，2），
∴S_{四边形ABDC}=AB×OC=4×2=8；
（2）在y轴上是否存在一点P，使S_△PAB=S_{四边形ABDC}．理由如下：
设点P到AB的距离为h，
S_△PAB=$\frac{1}{2}$×AB×h=2h，
由S_△PAB=S_{四边形ABDC}，得2h=8，
解得h=4，
∴P（0，4）或（0，-4）．
（3）如图2，

当点P在线段CD上，作PM∥AC交AB于点M，
∵PM∥AC，
∴∠APM=∠CAP，
∵AC∥BD，
∴PM∥BD，
∴∠BPM=∠DBP，
∴∠APB=∠APM+∠BPM=∠CAP+∠DBP，
∴$\frac{∠CAP+∠DBP}{∠APB}=1$，
故①正确．

点评 本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系及三角形、平行四边形的面积公式，解题的关键是理解平移的规律．