如果一个矩形的四个顶点分别在三角形的各条边上.那么就称这个矩形为此三角形的内矩形如图1.矩形DEFG是△ABC的内接矩形.学习了三角形的内接矩形后.小明对此产生了浓厚的兴趣.并做了以下探索与猜想．(一)探究与发现:已知:如图2.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.AC=3.BC=4．小明利用位似图形的方法.做出Rt△ABC的内接正方形CDEF.请你参照� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．如果一个矩形的四个顶点分别在三角形的各条边上，那么就称这个矩形为此三角形的内矩形如图1，矩形DEFG是△ABC的内接矩形，学习了三角形的内接矩形后，小明对此产生了浓厚的兴趣，并做了以下探索与猜想．
（一）探究与发现：
已知：如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4．小明利用位似图形的方法，做出Rt△ABC的内接正方形CDEF，请你参照小明的方法，在图3中画出Rt△ABC的内接正方形，使正方形的一边落在AB边上，其余两个顶点分别在BC、AC上．（不写画法，保留画法，保留画图痕迹，画图工具不限）

（2）请问图3中的内接正方形的面积是该三角形内接矩形的最大面积吗？不是（填“是”或“不是”），若不是，则该三角形内接矩形的最大面积是3．
（3）经过探究小明发现并证明了直角三角形的内接矩形一定存在最大面积，且内接矩形的最大面积与直角三角形面积的比是$\frac{1}{2}$．
（二）猜想与说理：
小明猜想：在Rt△ABC中，若∠ACB=90°，AB=c，斜边AB上的高为h，（其中c，h为常数）则该三角形的内接矩形的对角线一定存在最小值．小明的猜想正确吗？若正确，请你求出三角形内接矩形对角线的最小值、若不正确，请说明理由．

分析（一）（1）可先在Rt△ABC内画一个正方形PQST，使得点P在边BC上，边TS在边AB上，然后连接BQ并延长，交AC于G，过点G作GH∥AB，交BC于点H，过点G作GF⊥AB于F，过点H作HE⊥AB于E，根据位似变换可知四边形EFGH即为所求作；
（2）可先运用相似三角形的性质求出Rt△ABC内接正方形的面积，然后运用相似三角形的性质及二次函数的最值性求出Rt△ABC内接矩形的最大值，然后通过比较就可解决问题；
（3）由于内接矩形的最大面积已求，只需求出Rt△ABC的面积，就可解决问题；
（二）可设GH=x，然后运用相似三角形的性质求出CM（用c、h、x表示），然后在Rt△EHG中运用勾股定理表示EG²，然后运用二次函数的最值性求出EG²的最小值，从而可得到EG的最小值．

解答解：（一）（1）如图3所示，正方形EFGH即为所求作．

（2）①若矩形EFGH是正方形，
过点C作CN⊥AB于N，交GH于M，则CM⊥GH．如图4，

设正方形EFGH的边长为x，则有GH=EH=MN=x．
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，CN=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{12}{5}$，
∴CM=$\frac{12}{5}$-x．
∵四边形EFGH是正方形，
∴GH∥EF，
∴△CGH∽△CAB．
∵CM⊥GH，CN⊥AB，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{GH}{AB}$，
∴$\frac{\frac{12}{5}-x}{\frac{12}{5}}$=$\frac{x}{5}$，
解得：x=$\frac{60}{37}$，
∴S_{正方形EFGH}=（$\frac{60}{37}$）²．
②若矩形EFGH不是正方形，
过点C作CN⊥AB于N，交GH于M，则CM⊥GH．如图5，

∵$\frac{CM}{CN}$=$\frac{GH}{AB}$（已证），CN=$\frac{12}{5}$，AB=5，
∴CM=$\frac{CN•GH}{AB}$=$\frac{\frac{12}{5}•GH}{5}$=$\frac{12}{25}$GH．
设GH=x，则CM=$\frac{12}{25}$x，MN=$\frac{12}{5}$-$\frac{12}{25}$x，
∴S_矩形EFGH=GH•MN=x•（$\frac{12}{5}$-$\frac{12}{25}$x）
=-$\frac{12}{25}$（x²-5x）
=-$\frac{12}{25}$（x²-5x+$\frac{25}{4}$-$\frac{25}{4}$）
=-$\frac{12}{25}$（x-$\frac{5}{2}$）²+3．
∵-$\frac{12}{25}$＜0，
∴当x=$\frac{5}{2}$时，矩形EFGH的面积取到最大值，最大值为3．
∵（$\frac{60}{37}$）²＜3，
∴内接正方形的面积不是最大，该三角形内接矩形的最大面积是3．
故答案分别为：不是、3；
（3）∵内接矩形的最大面积为3，直角三角形面积为$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∴内接矩形的最大面积与直角三角形面积的比是$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$；

（二）小明的猜想正确．
如图5，

∵四边形EFGH是矩形，
∴GH∥EF，
∴△CGH∽△CAB．
∵CM⊥GH，CN⊥AB，
∴$\frac{CM}{CN}$=$\frac{GH}{AB}$，
∵AB=c，CN=h，
∴CM=$\frac{CN•GH}{AB}$=$\frac{h•GH}{c}$．
设GH=x，则CM=$\frac{hx}{c}$，MN=h-$\frac{hx}{c}$，
∴EH=MN=h-$\frac{hx}{c}$，
在Rt△EHG中，
EG²=GH²+EH²=x²+（h-$\frac{hx}{c}$）²
=$\frac{{h}^{2}+{c}^{2}}{{c}^{2}}$x²-$\frac{2{h}^{2}}{c}$x+h²．
∵$\frac{{h}^{2}+{c}^{2}}{{c}^{2}}$＞0，
∴EG²取到最小值，
最小值为$\frac{4×\frac{{h}^{2}+{c}^{2}}{{c}^{2}}×{h}^{2}-（-\frac{2{h}^{2}}{c}）^{2}}{4×\frac{{h}^{2}+{c}^{2}}{{c}^{2}}}$=$\frac{{c}^{2}{h}^{2}}{{h}^{2}+{c}^{2}}$，
∴EG的最小值为$\sqrt{\frac{{c}^{2}{h}^{2}}{{h}^{2}+{c}^{2}}}$=$\frac{ch\sqrt{{h}^{2}+{c}^{2}}}{{h}^{2}+{c}^{2}}$．