Question

5．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且BE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OBEC是矩形；
（2）若菱形ABCD的周长是4$\sqrt{10}$，tanα=$\frac{1}{2}$，求四边形OBEC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用菱形的对角线互相垂直结合平行线的性质得出∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，进而求出即可；
（2）利用菱形的性质结合勾股定理得出CO，BO的长，进而求出四边形OBEC的面积．

解答 （1）证明：∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴AC⊥BD，
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴∠BOC=∠OCE=∠OBE=90°，
∴四边形OBEC是矩形；

（2）解：∵菱形ABCD的周长是4$\sqrt{10}$，
∴AB=BC=AD=DC=$\sqrt{10}$，
∵tanα=$\frac{1}{2}$，
∴设CO=x，则BO=2x，
∴x²+（2x）²=（$\sqrt{10}$）²，
解得：x=$\sqrt{2}$，
∴四边形OBEC的面积为：$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4．

点评 此题主要考查了菱形的性质和判定以及勾股定理等知识，熟练利用菱形的性质是解题关键．