Question

17．张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，山坡与水平面成30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°，沿坡面前进20米，到达B处，又测得树顶端点C的仰角为60°（图中各点均在同一平面内），求这棵大树CD的高度（结果精确到0.1米，参考数据：$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 过B作BE⊥CD交CD延长线于E，由∠CAN=45°，∠MAN=30°，得到∠CAB=15°，由∠CBD=60°，∠DBE=30°，得到∠CBD=30°于是有∠CAB=∠ACB=15°所以AB=BC=20，解Rt△BCE，可求得CE，解Rt△DBE可求得DE，CE-DE即得到树高CD．

解答 解：如图，过B作BE⊥CD交CD延长线于E，
∵∠CAN=45°，∠MAN=30°，
∴∠CAB=15°
∵∠CBE=60°，∠DBE=30°，
∴∠CBD=30°，
∵∠CBD=∠CAB+∠ACB，
∴∠CAB=∠ACB=15°，
∴AB=BC=20，
在Rt△BCE中，∠CBE=60°，BC=20，
∴CE=BCsin∠CBE=20×$\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10，
在Rt△DBE中，∠DBE=30°，BE=10，
∴DE=BEtan∠DBE=10×$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=CE-DE=$10\sqrt{3}-\frac{10\sqrt{3}}{3}=\frac{20\sqrt{3}}{3}$≈11.5，
答：这棵大树CD的高度大约为11.5米．

点评 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．