Question

1．如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，1），下列结论：①abc＜0；②a+b=0；③4ac-b²=4a；④a+b+c＜0．其中正确的有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据抛物线开口向下可得出a＜0，由抛物线对称轴为x=$\frac{1}{2}$可得出b=-a＞0，结合抛物线图象可知c＞0，进而可得出abc＜0，①正确；②由b=-a可得出a+b=0，②正确；③根据抛物线顶点坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），由此可得出$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=1，去分母后即可得出4ac-b²=4a，③正确；④根据抛物线的对称性可得出x=1与x=0时y值相等，由此可得出a+b+c=c＞0，④错误．综上即可得出结论．

解答 解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{2}$，
∴b=-a＞0，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确；
②∵b=-a，
∴a+b=0，②正确；
③∵抛物线的顶点坐标为（$\frac{1}{2}$，1），
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=1，
∴4ac-b²=4a，③正确；
④∵抛物线的对称轴为x=$\frac{1}{2}$，
∴x=1与x=0时y值相等，
∵当x=0时，y=c＞0，
∴当x=1时，y=a+b+c＞0，④错误．
综上所述：正确的结论为①②③．
故选C．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，根据二次函数的图象分析出a、b、c之间的关系是解题的关键．