Question

10．如图1，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM=6，∠OMN=45°，点P从点O出发，以每秒钟1个单位的速度沿折线ONM运动，设点P运动时间为t （s），△POM的面积S．
（1）当S=$\frac{1}{2}$△OMN时，请直接写出点P的坐标；
（2）当t=6+5$\sqrt{2}$时，直线x=$\frac{3}{4}$上有一个动点C和y轴上有一动点D，当PD+DC+OC值最小时，求C、D两点的坐标及此时PD+DC+OC最小值；
（3）如图3，有一个和△NOM全等的△AOB，现将△AOB绕点O顺时针旋转a°（0＜a＜180）形成△A′OB′，直线OB′与直线MN交于点F，直线A′B′交直线MN于点E，在旋转过程中△EFB′为等腰三角形时，请直接写出a的度数与B′点的横坐标的平方．

Answer 1

分析 （1）当S=△OMN面积的一半时，分两种情况进行讨论：①点P在ON上；点P在MN上，分别求得点P的坐标；
（2）先根据当t=6+5$\sqrt{2}$时，ON+NP=6+5$\sqrt{2}$，NP=5$\sqrt{2}$，PM=$\sqrt{2}$，求得点P的坐标为（5，1），再作点P关于y轴对称的点P'，作点O关于直线x=$\frac{3}{4}$的对称点O'，则P'（-5，1），O'（$\frac{3}{2}$，0），连接O'P'，交y轴于点D，交直线x=$\frac{3}{4}$于点C，则此时PD+DC+OC值最小，等于线段O'P'的长，运用待定系数法求得直线O'P'的解析式为y=-$\frac{2}{13}$x+$\frac{3}{13}$，进而得到C、D两点的坐标及此时PD+DC+OC最小值；
（3）根据旋转过程中△EFB′为等腰三角形，需要分三种情况讨论：当EB'=EF时，当B'E=B'F时，当FE=FB'时，分别求得a的度数与B′点的横坐标的平方．

解答 解：（1）分两种情况讨论：
①如图1，当点P在ON上时，根据S=△OMN面积的一半，可得点P为NO的中点，

∵OM=6，∠OMN=45°，
∴△MON是等腰直角三角形，
∴ON=6，
∴OP=3，
∴P（0，3）；
②如图1，当点P在MN上时，根据S=△OMN面积的一半，可得点P为NM的中点，
∵△MON是等腰直角三角形，OM=ON=6，
∴P（3，3）；
综上所述，点P的坐标为（0，3）或（3，3）；

（2）∵ON=6，
∴当t=6+5$\sqrt{2}$时，ON+NP=6+5$\sqrt{2}$，NP=5$\sqrt{2}$，PM=$\sqrt{2}$，
∴点P的坐标为（5，1），
如下图，作点P关于y轴对称的点P'，作点O关于直线x=$\frac{3}{4}$的对称点O'，则P'（-5，1），O'（$\frac{3}{2}$，0），
连接O'P'，交y轴于点D，交直线x=$\frac{3}{4}$于点C，则此时PD+DC+OC值最小，等于线段O'P'的长，

设直线O'P'的解析式为y=kx+b，则
$\left\{\begin{array}{l}{1=-5k+b}\\{0=\frac{3}{2}k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{13}}\\{b=\frac{3}{13}}\end{array}\right.$，
∴直线O'P'的解析式为y=-$\frac{2}{13}$x+$\frac{3}{13}$，
∴当x=$\frac{3}{4}$时，y=$\frac{3}{26}$，即C（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{26}$）；
当x=0时，y=$\frac{3}{13}$，即D（0，$\frac{3}{13}$）；
此时PD+DC+OC=O'P'=$\sqrt{（\frac{3}{2}+5）^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{173}}{2}$，
∴PD+DC+OC最小值为$\frac{\sqrt{173}}{2}$；

（3）①当EB'=EF时，∠B'=∠B'FE=∠MFO=45°，
∵∠FMO=45°，
∴此时∠MOF=90°，即点F与点N重合，即OF=ON，
故△EFB′不存在，不合题意；
②当B'E=B'F时，如图，过点B'作B'H⊥OM于H，过点F作FG⊥OM于G，则FG∥B'H，

∵∠EB'F=45°，
∴∠B'FE=∠MFO=67.5°=∠MFO，
又∵∠OMF=45°，
∴∠MOF=67.5°，
∴a的度数=∠BOB'=112.5°，
此时MF=MO=6，
∴Rt△MFG中，FG=MG=3$\sqrt{2}$，
∴OG=6-3$\sqrt{2}$，
由FG∥B'H，可得$\frac{OG}{OM}$=$\frac{FG}{B'H}$，即$\frac{6-3\sqrt{2}}{OH}$=$\frac{3\sqrt{2}}{B'H}$，
∴B'H=$\frac{3\sqrt{2}}{6-3\sqrt{2}}$OH=（$\sqrt{2}$+1）OH，
∵Rt△OHB'中，OH²+B'H²=B'O²，
∴OH²+（$\sqrt{2}$+1）²OH²=6²，
解得OH²=18-9$\sqrt{2}$，即B′点的横坐标的平方为18-9$\sqrt{2}$；
③当FE=FB'时，如图，过点B'作B'H⊥OM于H，

∵∠EB'F=∠FEB'=45°，
∴∠EFB'=90°=∠MFO，
又∵∠OMF=45°，
∴∠MOF=45°，
∴a的度数=∠BOB'=135°，
此时，Rt△OHB'中，OH²=$\frac{1}{2}$B'O²=$\frac{1}{2}$×36=18，即B′点的横坐标的平方为18．

点评 本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，平行线分线段成比例定理，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形和平行线，运用分类讨论思想进行求解．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．