Question

20．如图所示，AB是⊙O的直径，AM、BN是⊙O的两条切线，D、C分别在AM、BN上，DC切⊙O于点E，连接OD、OC、BE、AE，BE与OC相交于点P，AE与OD相交于点Q，已知AD=4，BC=9，以下结论：
①⊙O的半径为$\frac{13}{2}$；②OD∥BE； ③PB=$\frac{18}{13}$$\sqrt{13}$；④tan∠CEP=$\frac{2}{3}$．
其中正确结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 作DK⊥BC于K，连接OE，①错误，在Rt△CDK中，利用勾股定理求得DK=12，故错误．②正确．可以证明AQ=QE，AO=OB，由此得出结论．③正确．根据PB=$\frac{BC•OB}{OC}$计算即可．④错误；根据tan∠CEP=tan∠CBP=$\frac{PC}{PB}$计算即可．

解答 解：作DK⊥BC于K，连接OE．
∵AD、BC是切线，
∴∠DAB=∠ABK=∠DKB=90°，
∴四边形ABKD是矩形，
∴DK=AB，AD=BK=4，
∵CD是切线，
∴DA=DE，CE=CB=9，
在Rt△DKC中，∵DC=DE+CE=13，CK=BC-BK=5，
∴DK=$\sqrt{D{C}^{2}-C{K}^{2}}$=12，
∴AB=DK=12，
∴⊙O半径为6．故①错误，
∵DA=DE，OA=OE，
∴OD垂直平分AE，同理OC垂直平分BE，
∴AQ=QE，∵AO=OB，
∴OD∥BE，故②正确．
在Rt△OBC中，PB=$\frac{OB•BC}{OC}$=$\frac{6×9}{3\sqrt{13}}$=$\frac{18\sqrt{13}}{13}$，故③正确，
∵CE=CB，
∴∠CEB=∠CBE，
∴tan∠CEP=tan∠CBP=$\frac{PC}{BP}$=$\frac{\frac{27\sqrt{13}}{13}}{\frac{18\sqrt{13}}{13}}$=$\frac{3}{2}$，故④错误，
∴②③正确，
故选B．

点评 本题考查切线的性质、圆周角定理、切线长定理、勾股定理、三角形中位线性质、直角三角形斜边上的高的求法等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，熟练掌握切线长定理，属于中考常考题型．