Question

14．如图，△ABC中，∠C=90°，且BC=5，它的内切⊙O分别与边AB、BC、CA相切于点D、F、E，⊙O的半径r=2．求△ABC的周长．

Answer 1

分析 连接OF、OE．先证明四边形OECF是正方形，从而可求得BF=DB=3，设AD=AE=x，最后再Rt△ABC中，由勾股定理列方程求解可求得x=10，从而可求得△ABC的周长．

解答 解：如图所示：连接OF、OE．

∵BC是圆O的切线，
∴OF⊥BC．
同理：OE⊥AC．
∴∠OFC=∠C=∠OEC=90°．
∴四边形OECF是矩形．
∵OF=OE，
∴四边形OECF是正方形．
∴FC=EC=2．
∴BF=3．
由切线长定理可知：DB=BF=3，AD=AE．
设AD=AE=x，则AC=x+2，AB=x+3．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB²=AC²+BC²，（x+3）²=（x+2）²+5²．
解得：x=10．
∴AC=10+2=12，AB=10+3=13．
∴△ABC的周长=12+13+5=30．

点评 本题主要考查的是三角形的内切圆，正方形的性质和判定、切线长定理，证得四边形OECF是正方形是解题的关键．