Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．
（1）若AC=12，BC=9，求AE的长；
（2）过点D作DF⊥BC，垂足为F，则△ADE与△DFB是否全等？其说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求得AB，进而求得AD，然后证得△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质得出$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{AE}{15}$=$\frac{\frac{15}{2}}{12}$，即可求得AE=$\frac{75}{8}$；
（2）因为两个直角三角形的斜边AE≠BD，所以△ADE与△DFB不会全等．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=15，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{15}{2}$，
∵∠ADE=∠C=90°，∠DAE=∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{AE}{15}$=$\frac{\frac{15}{2}}{12}$，
∴AE=$\frac{75}{8}$，；
（2）不全等，
理由：∵AB=15，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{15}{2}$，
∵AE=$\frac{75}{8}$，
∴AE≠BD，
∴△ADE与△DFB不会全等．

点评 本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，三角形全等的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．