Question

4．已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，BC=10，AB=CD=5，直线MN是等腰梯形的对称轴，P是射线MN上一点，射线BP交射线DC于点F，过C点作CE∥AB，与射线BP交于点E．
（1）求梯形的高；
（2）若点P在MN的延长线上（点P不与点N重合），若设NP=π，CF=y，请写出y关于x的函数解析式并注明定义域；
（3）当NP为何值时，以A、B、C、E为顶点的四边形恰巧是平行四边形？（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）过点A作AO⊥BC于点O，过点D作DG⊥BC于点G，根据第一数据线的性质得到CG=$\frac{1}{2}$（BC-AD）=$\frac{1}{2}$（10-4）=3，在直角三角形中，利用勾股定理求出DG=4，所以梯形的高为4．
（2）过点F作FH⊥BC交BC的延长线于点H，证明Rt△CDG～Rt△CFH，得到$\frac{FH}{DG}=\frac{CF}{CD}$，求得FH=$\frac{4}{5}$y，同理求出CH=$\frac{3}{5}y$，再根据Rt△BNP～Rt△BHF，得到对应边成比例$\frac{NP}{FH}=\frac{BN}{BH}=\frac{BN}{BC+CH}$，即$\frac{x}{\frac{4}{5}y}=\frac{5}{10+\frac{3}{5}y}$，整理得y=$\frac{50x}{20-3x}$．根据20-3x＞0，求出x的取值范围即可解答．
（3）过点E作EJ⊥BC，过点A作AK⊥BC，证明Rt△ECJ～Rt△ABK，得到$\frac{CE}{AB}=\frac{EJ}{AK}=\frac{CJ}{BK}$=t（假设其比例为t），则CE=4t，EJ=4t，CJ=3t，再由Rt△BNP～Rt△BJE，得到$\frac{NP}{EJ}=\frac{BN}{BJ}$，解得t=$\frac{10x}{3x+20}$，根据四边形ABCE是平行四边形，则AB=CE，即5t=$\frac{50x}{3x+20}$=5，求得x=$\frac{20}{7}$．

解答 解：（1）如图1所示，过点A作AO⊥BC于点O，过点D作DG⊥BC于点G，

∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴CG=$\frac{1}{2}$（BC-AD）=$\frac{1}{2}$（10-4）=3，
在直角三角形中，DG=$\sqrt{C{D}^{2}-C{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴梯形的高为4．
（2）如图2，过点F作FH⊥BC交BC的延长线于点H，

由图可知，Rt△CDG～Rt△CFH，
∴$\frac{FH}{DG}=\frac{CF}{CD}$
即$\frac{FH}{4}=\frac{y}{5}$
∴FH=$\frac{4}{5}$y，
同理可得：CH=$\frac{3}{5}y$，
又Rt△BNP～Rt△BHF，
∴$\frac{NP}{FH}=\frac{BN}{BH}=\frac{BN}{BC+CH}$
即$\frac{x}{\frac{4}{5}y}=\frac{5}{10+\frac{3}{5}y}$
整理得：y=$\frac{50x}{20-3x}$．
20-3x＞0，
解得：x＜$\frac{20}{3}$，
∴x的取值范围：0＜x＜$\frac{20}{3}$．
（3）如图3，过点E作EJ⊥BC，过点A作AK⊥BC，

∵EC∥AB，
∴∠ECB=∠ABC，
∴Rt△ECJ～Rt△ABK，
∴$\frac{CE}{AB}=\frac{EJ}{AK}=\frac{CJ}{BK}$=t（假设其比例为t），
则CE=4t，EJ=4t，CJ=3t，
由图可知，BJ=BC-CJ=10-3t，
又Rt△BNP～Rt△BJE，
∴$\frac{NP}{EJ}=\frac{BN}{BJ}$，
∴$\frac{x}{4t}=\frac{5}{10-3t}$，
整理得：t=$\frac{10x}{3x+20}$，
若四边形ABCE是平行四边形，则AB=CE，
即5t=$\frac{50x}{3x+20}$=5，
解得：x=$\frac{20}{7}$．

点评 本题考查了第一数据线的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理、平行四边形的性质，解决本题的根据是作出辅助线，得到相似三角形．