Question

16．如图，正方形ABCD的边BC恰好在△ECG边EC上，点D在边EG上，AB与EG交于点F．
（1）求证：△FAD∽△FBE；
（2）若正方形的边长为5，EF：FD：DG=2：1：1，求△ECG的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到∠A=∠ABC=∠ABE=90°，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，作GH⊥EC，垂足为H，得到BF∥CD∥HG，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{EF}{DF}=\frac{BE}{BC}$=2，得到BE=10，求得CE=15，根据相似三角形的性质得到GH=$\frac{20}{3}$，由三角形的面积公式即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠ABE=90°，
∴∠FAD=∠FBE=90°，
∵∠GFB=∠DFA，
∴△FAD∽△FBE；
（2）解：如图，作GH⊥EC，垂足为H，
则BF∥CD∥HG，
∴$\frac{EF}{DF}=\frac{BE}{BC}$=2，
∴BE=10，
∴CE=15，
∵CD∥HG，
∴△CDE∽△HGE，
∴$\frac{CD}{GH}$=$\frac{DE}{EG}$，即$\frac{5}{GH}$=$\frac{3}{4}$，
∴GH=$\frac{20}{3}$，
∴△ECG的面积=$\frac{1}{2}$CE•GH=$\frac{1}{2}×$15×$\frac{20}{3}$=50．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．