Question

13．已知抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-nx+$\frac{1}{2}$n²-n+3与x轴有两个不同的交点A，B，顶点为C．
（1）求n的取值范围；
（2）若△ABC的面积是4，求n的值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线与x轴有两个交点，可得△＞0，即可解题；
（2）易求得点A、B、C坐标，再根据△ABC的面积是4即可解题．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-nx+$\frac{1}{2}$n²-n+3与x轴有两个交点，
∴△＞0，
∴n²-4×$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$n²-n+3）=2n-6＞0，
∴n＞3；
（2）∵y=$\frac{1}{2}$x²-nx+$\frac{1}{2}$n²-n+3=$\frac{1}{2}$（x-n）²-（n-3），
∴顶点C坐标为（n，3-n），
当y=时，$\frac{1}{2}$（x-n）²-（n-3）=0，
解得：x=n+$\sqrt{2（n-3）}$或n-$\sqrt{2（n-3）}$，
∴AB=2$\sqrt{2（n-3）}$，
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2（n-3）}$）（n-3）=4，
化简得：$\sqrt{2（n-3）}$•（n-3）=4，即2（n-3）³=16，
解得：n=5．

点评 本题考查了二次函数顶点的计算，考查了抛物线与x轴的交点，本题中求得A、B、C坐标是解题的关键．