Question

18．如图，在△ABC中，M、N分别为BC、AC上一点，AM和BN都交于点D，BM=tMC，点D为AM的中点．

（1）当t=1时，求$\frac{BD}{BN}$的值；
（2）当t=3时，求$\frac{AN}{AC}$的值；
（3）若S_△BDM=2S_△DNC，求t的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作MH∥BN交AC于H．根据平行线分线段成比例定理可得BN=2MH=4DN，由此即可解决问题；
（2）如图2中，作MH∥BN交AC于H．根据平行线分线段成比例定理即可解决问题；
（3）作MH∥BN交AC于H．设△DNC的面积为S，则△BDM的面积为2S．由S_△BDM：S_△DMC=t：1，列出方程即可解决问题；

解答 解：（1）如图1中，作MH∥BN交AC于H．

∵t=1，
∴BM=CM，
∴HN=CH，
∵AD=DM，DN∥MH，
∴AN=NH，
∴DN=$\frac{1}{2}$MH，MH=$\frac{1}{2}$BN，
∴BN=4DN，
∴$\frac{BD}{BN}$=$\frac{3}{4}$．

（2）如图2中，作MH∥BN交AC于H．

∵t=3，BM=3CM，
∴$\frac{HN}{CH}$=$\frac{BM}{MC}$=3，
∵DN∥MH．AD=DM，
∴AN=HN，
∴$\frac{AN}{AC}$=$\frac{3}{7}$．

（3）作MH∥BN交AC于H．设△DNC的面积为S，则△BDM的面积为2S．

易证AN=NH，HN：HC=t，
∴AN：CN=t：（t+1），
∴S_△ADN=$\frac{t}{t+1}$S，S_△ADC=S_△DCM=$\frac{2t+1}{t+1}$S，
∵S_△BDM：S_△DMC=t：1，
∴2S：$\frac{2t+1}{t+1}S$=t：1，
整理得2t²-t-2=0，解得t=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$或$\frac{1-\sqrt{17}}{4}$（舍弃），
∴t=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$．

点评 本题考查平行线分线段成比例定理，一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．