Question

7．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是对角线AC、BD的中点，又AD、BC的延长线交于P，求证：S_△PMN=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}．

Answer 1

分析 先连接DM，BM，根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，得到△ADM的面积+△ABM的面积=$\frac{1}{2}$×四边形ABCD的面积，根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，得到△BPM的面积=$\frac{1}{2}$×△ABP的面积，最后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，得到△PMN的面积=△BPM的面积-△BPN的面积-△BMN的面积=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}．

解答 解：如图所示，连接DM，BM，
∵M是AC的中点，
∴△ADM的面积=$\frac{1}{2}$×△ACD的面积，△ABM的面积=$\frac{1}{2}$×△ACB的面积，
∴△ADM的面积+△ABM的面积=$\frac{1}{2}$（△ACD的面积+△ACB的面积）=$\frac{1}{2}$×四边形ABCD的面积，
∵M是AC的中点，
∴△BPM的面积=△MPC的面积+△MBC的面积
=$\frac{1}{2}$×△ACP的面积+$\frac{1}{2}$×△ABC的面积
=$\frac{1}{2}$×△ABP的面积，
∵N是BD的中点，
∴△BPN的面积=$\frac{1}{2}$×△BDP的面积，△BMN的面积=$\frac{1}{2}$×△BDM的面积，
∴S_△PMN=△BPM的面积-△BPN的面积-△BMN的面积
=$\frac{1}{2}$×△ABP的面积-$\frac{1}{2}$×△BDP的面积-$\frac{1}{2}$×△BDM的面积
=$\frac{1}{2}$（△ABP的面积-△BDP的面积-△BDM的面积）
=$\frac{1}{2}$（△ADM的面积+△ABM的面积）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×S_{四边形ABCD}
=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}

点评 本题考查的是三角形中线性质的应用，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．