Question

17．如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，$\frac{OA}{OB}=\frac{3}{4}$，∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象过点C，若以CD为边的正方形的面积等于 $\frac{2}{7}$，则k的值是7．

Answer 1

分析 设OA=3a，则OB=4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是y=x，OA的中垂线的解析式是x=$\frac{3}{2}$，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为$\frac{2}{7}$，即CD²=$\frac{2}{7}$，据此即可列方程求得a²的值，则k即可求解．

解答 解：设OA=3a，则OB=4a，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
则根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{3ak+b=0}\\{b=4a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4a}\end{array}\right.$，
则直线AB的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=-\frac{4}{3}x+4a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{7}a}\\{y=\frac{12}{7}a}\end{array}\right.$，
则D的坐标是（$\frac{12}{7}$a，$\frac{12}{7}$a），
OA的中垂线的解析式是x=$\frac{3}{2}a$，则C的坐标是（$\frac{3}{2}a$，$\frac{3}{2}a$），则k=$\frac{9}{4}{a}^{2}$．
∵以CD为边的正方形的面积为$\frac{2}{7}$，
∴2（$\frac{12}{7}a$-$\frac{3}{2}a$）²=$\frac{2}{7}$，
则a²=$\frac{28}{9}$，
∴k=$\frac{9}{4}×\frac{28}{9}$=7，
故答案为：7

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式，正确求得C和D的坐标是解决本题的关键．