Question

2．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，在CB的延长线上取一点D，连接AD，过点A作AE⊥AD，过点C作CE⊥CB，AE与CE交于点E，连接BE，延长△ADC的中线AF交BE于点G．
求证：AG⊥BE．

Answer 1

分析 如图作AH⊥CD于H．首先证明△DAB≌△EAC，推出BD=EC，由FC=FH+CH=$\frac{BD}{2}$+CH，推出BD=2FH，推出EC=2FH，由$\frac{FG}{EC}$=$\frac{AH}{BC}$=$\frac{1}{2}$，∠AHF=∠BCE，推出△AFH∽△BEC，推出∠FBH=∠FAH，由∠BFG=∠AFH，可得∠BGF=∠AHF=90°．

解答 证明：如图作AH⊥CD于H．

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵CE⊥CD，
∴∠DCE=90°，
∴∠ABD=∠ACE=135°，
∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
∵AB=AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD=EC，
∵FC=FH+CH=$\frac{BD}{2}$+CH，
∴BD=2FH，
∴EC=2FH，∵BC=2AH，
∴$\frac{FG}{EC}$=$\frac{AH}{BC}$=$\frac{1}{2}$，∵∠AHF=∠BCE，
∴△AFH∽△BEC，
∴∠FBH=∠FAH，
∵∠BFG=∠AFH，
∴∠BGF=∠AHF=90°，
∴AG⊥BE．

点评 本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．