Question

18．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=15$\sqrt{2}$，点M、N在边BC上，且∠MAN=45°，CN=5，MN=13．

Answer 1

分析 由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠C=45°，BC=$\sqrt{2}$AB=30，把△ACN绕点A顺时针旋转90°得到△ABD，由旋转的性质得出∠ABD=∠C=45°，BD=CN=5，∠DAN=90°，AD=AN，求出∠DBM=90°，证出∠MAD=∠MAN，由SAS证明△AMD≌△AMN，得出MD=MN，设MD=MN=x，则BM=BC-MN-CN=25-x，在Rt△DBM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=15$\sqrt{2}$，
∴∠ABC=∠C=45°，BC=$\sqrt{2}$AB=30，
把△ACN绕点A顺时针旋转90°得到△ABD，连接MD，如图所示：
则∠ABD=∠C=45°，BD=CN=5，∠DAN=90°，AD=AN，
∴∠DBM=45°+45°=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠MAD=90°-45°=45°，
∴∠MAD=∠MAN，
在△AMD和△AMN中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AN}&{\;}\\{∠MAD=∠MAN}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△AMN（SAS），
∴MD=MN，
设MD=MN=x，
则BM=BC-MN-CN=25-x，
在Rt△DBM中，由勾股定理得：BD²+BM²=MD²，
即5²+（25-x）²=x²，解得：x=13，
∴MN=13；
故答案为：13．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形．