Question

如图，点P是矩形ABCD外一点，且PA=PB．
（1）求证：PC=PD；
（2）若满足上述条件的点P在矩形ABCD内，上述结论是否仍然成立？

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：几何图形问题,数形结合

分析：（1）由四边形ABCD是矩形，可得AD=BC，∠DAB=∠CBA=90°，又由PA=PB，可得∠PAD=∠PBC，然后由SAS证得△PAD≌△PBC，则可得PC=PD；
（2）由四边形ABCD是矩形，可得AD=BC，∠DAB=∠CBA=90°，又由PA=PB，可得∠PAD=∠PBC，然后由SAS证得△PAD≌△PBC，则可得PC=PD．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠DAB=∠CBA=90°，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∴∠PAD=∠PBC，
在△PAD和△PBC中，

PA=PB ∠PAD=∠PBC AD=BC

，
∴△PAD≌△PBC（SAS），
∴PC=PD；

（2）成立．
理由：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠DAB=∠CBA=90°，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∴∠PAD=∠PBC，
在△PAD和△PBC中，

PA=PB ∠PAD=∠PBC AD=BC

，
∴△PAD≌△PBC（SAS），
∴PC=PD．

点评：此题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．