Question

15．如图，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折痕与边BC交于点O，AD=8，连结AP、OP、OA．
（1）求证：△ADP∽△PCO；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（3）若图中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数．

Answer 1

分析 （1）由折叠的性质得到∠APO为直角，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
（2）根据两三角形面积之比，确定出相似比，进而求出PC的长，设AB=x，表示出DP，利用勾股定理求出x的值，即可确定出AB的长；
（3）若P为CD中点，则有DP=PC=$\frac{1}{2}$DC，再由DC=AB，得到DP=$\frac{1}{2}$AP，进而确定出∠DAP度数，即可求出所求角度数．

解答 （1）证明：∵矩形ABCD，
∴∠B=∠D=∠C=90°，AB=CD，
由折叠可得∠APO=∠B=90°，AB=AP，
∴∠DPA+∠OPC=90°，
∵∠DAP+∠DPA=90°，
∴∠DAP=∠OPC，
∴△ADP∽△PCO；
（2）解：∵△ADP∽△PCO，且面积比为4：1，
∴相似比为2：1，即$\frac{AD}{PC}$=2，
∵AD=8，
∴PC=4，
设AB=DC=AP=x，则有DP=DC-PC=x-4，
在Rt△ADP中，根据勾股定理得：x²=8²+（x-4）²，
解得：x=10，
则AB=10；
（3）∵P为DC中点，
∴PD=PC=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$AP，
在Rt△ADP中，DP=$\frac{1}{2}$AP，
∴∠DAP=30°，
由折叠可得∠OAB=∠OAP，
∴∠OAB=30°．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，以及折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．