Question

4．如图．点A为半径为6的⊙O的优弧上的一动点．∠BAC=60°，D为BC的中点，E为AD的中点．CE交AB于P，当点A在优弧BC上从B运动到C时，点P运动的路径长为（　　）

• A． $\frac{3π}{4}$
• B． 8π
• C． $\frac{8π}{3}$
• D． $\frac{16π}{3}$

Answer 1

分析 过D作DF∥PC交AB于F，则F是BP的中点，根据三角形的中位线的性质得到P是AF的中点，作⊙O的直径BG，连接AG，过P作PM∥AG交BG于M，根据平行线的性质得到∠BPM=∠BAG=90°，故点P在以BM为直径的圆上，设BM的中点为O′，连接OC，过O′作O′H∥OC交BC于H，得到点H在⊙O′上，求得∠BO′H=∠BOC=2∠BAC=120°，推出点P运动的路径是$\widehat{BMH}$，根据弧长的计算公式即可得到结论．

解答 解：过D作DF∥PC交AB于F，则F是BP的中点，
∵AE=DE，PE∥DF，
∴P是AF的中点，
∴$\frac{BP}{AB}=\frac{2}{3}$，
作⊙O的直径BG，连接AG，过P作PM∥AG交BG于M，
∴∠BPM=∠BAG=90°，
故点P在以BM为直径的圆上，
设BM的中点为O′，连接OC，过O′作O′H∥OC交BC于H，
∴$\frac{BM}{BG}=\frac{BP}{AB}=\frac{2}{3}$，
∴BM=8，BO′=$\frac{1}{2}$BM=4，
∵BO=6，$\frac{BH}{BC}=\frac{BO′}{BO}=\frac{2}{3}$，
即点H在⊙O′上，
∴∠BO′H=∠BOC=2∠BAC=120°，
∴点P运动的路径是$\widehat{BMH}$，
∴点P运动的路径长=$\frac{2}{3}$•π•BM=$\frac{16}{3}$π．
故选D．

点评 本题考查了轨迹，三角形的中位线的性质，弧长的计算，正确作出辅助线是解题的关键．