Question

14．阅读下面材料：随着人们认识的不断深入，毕达哥拉斯学派逐渐承认$\sqrt{2}$不是有理数，并给出了证明．假设是$\sqrt{2}$有理数，那么存在两个互质的正整数p，q，使得$\sqrt{2}$=$\frac{p}{q}$，于是p=$\sqrt{2}$q，两边平方得p²=2q²．因为2q²是偶数，所以p²是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数．因此可设p=2s，代入上式，得4s²=2q²，即q²=2s²，所以q也是偶数，这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾，这个矛盾说明，$\sqrt{2}$不能写成分数的形式，即$\sqrt{2}$不是有理数．
请你有类似的方法，证明$\root{3}{2}$不是有理数．

Answer 1

分析 根据题意利用反证法假设$\root{3}{2}$是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确．

解答 解：假设$\root{3}{2}$是有理数，
则存在两个互质的正整数m，n，使得$\root{3}{2}$=$\frac{n}{m}$，
于是有2m³=n³，
∵n³是2的倍数，
∴n是2的倍数，
设n=2t（t是正整数），则n³=8t³，即8t³=2m³，
∴4t³=m³，
∴m也是2的倍数，
∴m，n都是2的倍数，不互质，与假设矛盾，
∴假设错误，
∴$\root{3}{2}$不是有理数．

点评 此题主要考查了实数的概念以及反证法的应用，正确掌握反证法的基本步骤是解题关键．