Question

13．己知菱形ABCD的边长是6，∠ADC=120°，点E在直线AD上，DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则线段CM的长是4$\sqrt{3}$或$\frac{12\sqrt{3}}{5}$．

Answer 1

分析 分类讨论：当点E在AD上，如图1，连结BD交AC于O点，根据菱形的性质得∴AB=BC=AD=6，BC∥AD，AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC，易得△ABD为等边三角形，则AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，所以AC=2AO=6$\sqrt{3}$，再利用BC∥AE得到△BCM∽△EAM，利用相似比可得$\frac{MC}{AM}$=$\frac{BC}{AE}$=2，然后根据比例得性质可计算出MC的长；当E点在AD的延长线上时，如图2，则AE=AD+DE=9，同理可得△BCM∽△EAM，利用相似比得$\frac{MC}{AM}$=$\frac{BC}{AE}$=$\frac{2}{3}$，然后根据比例性质计算MC的长．

解答 解：当点E在AD上，如图1，
连结BD交AC于O点，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=AD=6，BC∥AD，AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC，
∵∠ADC=120°，
∴∠BAD=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，
∴AC=2AO=6$\sqrt{3}$，
而DE=3，
∴AE=3，
∵BC∥AE，
∴△BCM∽△EAM，
∴$\frac{MC}{AM}$=$\frac{BC}{AE}$=$\frac{6}{3}$=2，
∴$\frac{MC}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴MC=$\frac{2}{3}$×6$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$；
当E点在AD的延长线上时，如图2，则AE=AD+DE=9，
∵BC∥AE，
∴△BCM∽△EAM，
∴$\frac{MC}{AM}$=$\frac{BC}{AE}$=$\frac{6}{9}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{MC}{AC}$=$\frac{2}{5}$，
∴MC=$\frac{2}{5}$×6$\sqrt{3}$=$\frac{12\sqrt{3}}{5}$，
综上所述，CM的长为4$\sqrt{3}$或$\frac{12\sqrt{3}}{5}$．
故答案为4$\sqrt{3}$或$\frac{12\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查了菱形性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了相似三角形的判定与性质．