Question

9．在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点P在边AD上，连接BP，点A关于直线BP的对称点为A₁

（1）点A₁落在BC边上，求AP的长；
（2）点A₁落在线段PC上，求AP的长；
（3）点A₁到直线CD的距离等于A₁B的长，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，只要证明AB=AP即可解决问题．
（2）如图2中，先证明CP=CB，利用勾股定理求出PD，即可解决问题．
（3）如图3中，点A₁到直线CD的距离等于A₁B的长时，过点A₁作EF⊥AD垂足为E，交BC于F．先证明∠BA₁F=30°，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵点A₁落在BC边上，
∴∠ABP=∠PBA₁=45°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴∠ABP=∠APB=45°，
∴AP=AB=2．

（2）如图2中，

∵点A₁落在线段PC上，
∴∠APB=∠BPA₁，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC，
∴∠CPB=∠CBP，
∴CP=CB=3，
在Rt△PDC中，PD=$\sqrt{P{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴PA=AD-PD=3-$\sqrt{5}$．

（3）如图3中，点A₁到直线CD的距离等于A₁B的长时，过点A₁作EF⊥AD垂足为E，交BC于F．

在Rt△BFA₁中，BF=1，BA₁=2，
∴sin∠BA₁F=$\frac{1}{2}$，
∴∠BA₁F=30°，A₁F=$\sqrt{3}$，EA₁=2-$\sqrt{3}$，
在Rt△A₁PE中，∠PA₁E=60°，
∴∠A₁PE=30°，
∴PE=$\sqrt{3}$EA₁=2$\sqrt{3}$-3，
∴AP=1-（2$\sqrt{3}$-3）=4-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查轴对称的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，属于中考常考题型．