Question

17．如图，?ABCD中，∠B=45°，AC⊥BC，E是CA延长线上一点，O是AB的中点，连接OE，交DA延长线与点H，过点O作OG⊥OE交AC于点F，交BC的延长线于点G，连接CO．
（1）若CD=4，求四边形AHOF的面积；
（2）若∠COF=15°，求证：BG-AH=2OF．

Answer 1

分析 （1）由条件可证得△OAH≌△OCF，则可得S_{四边形AHOF}=S_△AOC，由平行四边形的性质和直角三角形的性质可求得是AO=OC=2，则可求得答案；
（2）可证得△AEH≌△CGF，则可求得AE=CG，则可求得BG-AH=EF，在Rt△OEF中利用直角三角形的性质可证得结论．

解答 （1）解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵O为AB中点，
∴OA=OB=OC，OC⊥AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DH∥BC，
∴∠HAO=∠B=45°，
∴∠OCF=∠OAH=45°，
∵OG⊥OE，
∴∠AOH+∠AOG=∠AOG+∠COF，
∴∠AOH=∠COF，
在△OAH和△OCF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAH=∠OCF}\\{OA=OC}\\{∠AOH=∠COF}\end{array}\right.$
∴△OAH≌△OCF（ASA），
∴S_△AOH=S_△COF，
∴S_{四边形AHOF}=S_△AOF+S_△AOH=S_△AOF+S_△COF=S_△AOC，
∵CD=4，
∴AB=4，
∴AO=CO=2，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OA•OC=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
∴S_{四边形AHOF}=2；
（2）证明：
∵△OAH≌△OCF，
∴AH=CF，
∵∠COF=∠AOH=15°，且∠G+∠COF=∠E+∠AOE=45°，
∴∠E=∠G=30°，
在△AHE和△CFG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠G}\\{∠EAH=∠GCF}\\{AH=CF}\end{array}\right.$
∴△AHE≌△CFG（AAS），
∴AE=CG，
∵BC=AC，
∴BG-AH=BG-CF=BC+CG-AH=AC+AE-CF=CE-CF=EF，
在Rt△OEF中，
∵∠E=30°，
∴EF=2OF，
∴BG-AH=2OF．

点评 本题主要考查全等三角形的判定和性质，在（1）中证得△OAH≌△OCF是解题的关键，在（2）中把BG-AH转化成EF是解题的关键，注意直角三角形性质的应用．