Question

8．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点C．

（1）求证：EF=EG；
（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变．
①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
②若EC=2，试求四边形EFCG的面积．

Answer 1

分析 （1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用ASA证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；
（2）①首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、P，然后利用ASA证得Rt△FEP≌Rt△GEH，则问题得证；
②借助①的结论得出S_△FEP=S_△GEH，进而S_{四边形EFCG}=S_{四边形EPCG}=$\frac{1}{2}$EH²=2即可．

解答 （1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，
∴∠DEF=∠GEB，
在△FED和△GEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEF=∠GEB}\\{ED=EB}\\{∠D=∠EBG}\end{array}\right.$，
∴△FED≌△GEB（ASA），
∴EF=EG；

（2）①解：成立．
证明：如图2，过点E作EH⊥BC于H，过点E作EP⊥CD于P，
∵四边形ABCD为正方形，
∴CE平分∠BCD，
又∵EH⊥BC，EP⊥CD，
∴EH=EP，
∴四边形EHCP是正方形，
∴∠HEP=90°，
∵∠GEH+∠HEF=90°，∠PEF+∠HEF=90°，
∴∠PEF=∠GEH，
∴在Rt△FEP与Rt△GEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PEF=∠GEH}\\{∠EPF=∠EHG}\\{EP=EH}\end{array}\right.$，
∴△FEP≌△GEH（AAS），
∴EF=EG；

②由①知，四边形EHCP是正方形，
∵EC=2，
∴EH=$\sqrt{2}$
由①知，△FEP≌△GEH，
∴S_△FEP=S_△GEH，
∴S_{四边形EFCG}=S_{四边形EPCG}=$\frac{1}{2}$EH²=2

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出△FED≌△GEB，解（2）的关键是判断出∠PEF=∠GEH，是一道中等难度的中考常考题．