Question

14．已知一次函数的图象经过点A（-1，2），且与直线y=2x-2平行．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）若O为坐标原点，点P为直线y=2x-2上一点，使得△POA的面积为3，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设这个一次函数的表达式为y=kx+b，因为两直线平行k相等易得k=2，把（-1，2）代入y=kx+b，即可求得b的值；
（2）分三种情况讨论：当点P在第一象限、第三象限、第四象限时，根据△POA的面积为3，分别代入面积公式进行计算可求得P的坐标．

解答 解：（1）设这个一次函数的表达式为y=kx+b，
∵直线y=kx+b与y=2x-2平行，
∴k=2，
∵直线y=kx+b过A（-1，2），
∴2×（-1）+b=2，
解得：b=4，
∴直线解析式为y=2x+4；
（2）设P（m，2m-2），
分三种情况：
①如图1，当点P在第一象限时，过A作AE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，
∴S_△AOP=S_梯形AEFP-S_△AOE-S_△POF=3，
$\frac{1}{2}$（2+2m-2）（1+m）-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×m×（2m-2）=3，
m=2，
当m=2时，2m-2=2×2-2=2，
∴P（2，2）
②如图2，当点P在第三象限时，过A作AE⊥y轴于E，过P作PF⊥y轴于F，
∴S_△AOP=S_梯形AEFP-S_△AOE-S_△POF=3，
$\frac{1}{2}$（2-2m+2）（1-m）-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×（-m）×（-2m+2）=3，
m=-1，
当m=-1时，2m-2=-4，
∴P（-1，-4）；
③如图3，当点P在第四象限时，构建矩形AFPE，交x轴于G，交y轴于H，
S_△AOP=S_△AFP-S_△AOG-S_矩形GFHO-S_△OPH=3
$\frac{1}{2}$×（1+m）（2+2-2m）-$\frac{1}{2}$×1×2-1×（2-2m）-$\frac{1}{2}$×m×（2-2m）=3
m=2
当m=2时，2m-2=2×2-2=2，不符合题意，
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（-1，-4）．

点评 本题考查了两条直线相交和平行问题，以及一次函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：两直线平行，那么解析式中的比例系数相同；点在直线上的，点的横纵坐标适合这个函数解析式，即利用解析式表示该图象上谋点的坐标．