Question

2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x²+bx的图象与x轴交于点A（4，0）．点P是y轴右侧抛物线上一动点（不与点A重合），过点P作直线PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴与点D，设矩形PCOD的周长为l，点P的横坐标为m．
（1）求b的值；
（2）求l与m的函数关系式；
（3）当l=10时，求m的值；
（4）若对于l的不同值，总有一个m值与之相对应，直接写出l的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点A（4，0）代入y=-x²+bx即可求得；
（2）根据解析式表示出P的坐标，然后根据矩形周长公式即可求得；
（3）把l=10代入解析式，得到关于m的方程，解方程即可；
（4）根据题意即可求得．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+bx的图象与x轴交于点A（4，0）．
∴-4²+4b=0，
解得b=4；
（2）∵点P是y轴右侧抛物线上一动点，点P的横坐标为m，
∴P（m，-m²+4m），
∴l=2（m-m²+4m）=-2m²+10m，
即l=-2m²+10m，（m＞0，且m≠4）
（3）当l=10时，则10=-2m²+10m，
解得m=$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$或m=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$；
（4）l的取值范围为：l＞0．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．