Question

6．如图，O在AC上，⊙O与BC相切于点C，与AB相切于P，AC=3，BC=4，连接CP．则AP的长为（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． 2.5
• D． 1.2

Answer 1

分析 连接半径OP，先证明△AOP∽△ABC，列比例式，得$\frac{AP}{OP}=\frac{3}{4}$，设AP=3x，OP=4x，在Rt△AOP中，根据勾股定理列方程得：（3-4x）²=（3x）²+（4x）²，解出即可求出AP的长．

解答 解：连接OP，
∵AB为⊙O的切线，
∴OP⊥AB，
∴∠OPA=90°，
∵⊙O与BC相切于点C，
∴∠ACB=90°，
∴∠OPA=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△AOP∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{OP}{BC}$，
∴$\frac{AP}{3}=\frac{OP}{4}$，
∴$\frac{AP}{OP}=\frac{3}{4}$，
设AP=3x，OP=4x，则OC=4x，AO=3-4x，
在Rt△AOP中，AO²=OP²+AP²，
（3-4x）²=（3x）²+（4x）²，
解得：x₁=-3（舍），x₂=$\frac{1}{3}$，
∴AP=3x=3×$\frac{1}{3}$=1，
故选B．

点评 本题考查了切线的性质和三角形相似的判定和性质，明确圆的切线垂直于过切点的半径，此类题若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．同时利用了三角形相似得出OP和AP的关系，设未知数，列方程求解．