我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方.则称这个四边形为勾股四边形.这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．(1)写出一种你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称长方形.正方形．.请你在图中画出以格点为顶点.OA.OB为勾股边.且对角线相等的所有勾股四边形OAMB．.以△ABC边AB作如图正三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）写出一种你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的图形的名称长方形，正方形．
（2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相等的所有勾股四边形OAMB．
（3）如图（2），以△ABC边AB作如图正三角形ABD，∠CBE=60°，且BE=BC，连结DE、DC，∠DCB=30°．求证：DC²+BC²=AC²，即四边形ABCD是勾股四边形．

分析（1）只要四边形中有一个角是直角，根据勾股定理就有两直角边平方的和等于斜边的平方，即此四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，由此可知，正方形、长方形、直角梯形都是勾股四边形．
（2）利用勾股定理计算画出即可；
（3）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解．

解答解：（1）是勾股四边形的图形的名称：长方形，正方形；
故答案是：长方形，正方形；

（2）如图（1），点M（3，4）或M（4，3）；

（3）证明：如图（2），连结EC．
根据旋转的性质知△ABC≌△DBE，则BC=BE，AC=DE．
又∵∠CBE=60°，
∴△CBE是等边三角形，
∴∠BCE=60°，BC=EC
又∵∠DCB=30°
∴∠BCE+∠DCB=90°即∠DCE=90°，
∴DC²+BC²=AC²，即四边形ABCD是勾股四边形．

点评本题考查勾股定理，及考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．

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