Question

11．已知⊙O的半径为r，作⊙O的内接正方形ABCD．
（Ⅰ）正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$r；
（Ⅱ）在图中，只用一把圆规画出正方形ABCD的四个顶点，并简要说明四个顶点的位置是如何找到的（不要求证明）作法：①以圆上任意一点E为圆心，以r为半径画圆，交⊙O于C和F，
②以F为圆心，以r为半径画圆，与⊙E交于O和G，与⊙O交于另一点A，
③作直线OG，交⊙O于D、B，
A、B、C、D连成四边形就是所求作的正方形．．

Answer 1

分析 （1）连接半径，根据勾股定理求边长即可；
（2）以圆上任意取一点为圆心，r为半径画圆，交⊙O于两点，再以其中任意一点为圆心，r为半径画圆，连接两圆的公共点交⊙O于两点，则可得到圆内接正方形．

解答 解：（1）如图1，连接OA、OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA⊥OD，
∵OA=OD=r，
∴AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$r，
∴正方形ABCD的边长为$\sqrt{2}$r；
故答案为：$\sqrt{2}$r；
（2）如图2，
故答案为：
作法：①以圆上任意一点E为圆心，以r为半径画圆，交⊙O于C和F，
②以F为圆心，以r为半径画圆，与⊙E交于O和G，与⊙O交于另一点A，
③作直线OG，交⊙O于D、B，
A、B、C、D连成四边形就是所求作的正方形．

点评 本题考查了圆内接正方形，熟练掌握圆内接正方形的有关概念；明确圆内接正方形的对角线就是外接圆的直径，对于只用一把圆规画出圆内接正方形ABCD，比较复杂，构建三个等圆，达到四等分圆周的结果．