Question

一胡同拐角处的俯视图如图所示，已知墙壁AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且两组平行墙壁间的宽度都为2m，内壁EF是半径为1m的四分之一圆弧，DE、FG分别与弧EF相切于E、F两点．现有户人家正在装修，需要买一些长方形木板，那么当木板的宽度不超过

 

m时，才能顺利通过此胡同（木板厚度忽略不计且不能弯曲）．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：应用题

分析：连结OE并延长交AB于M，连结OF并延长交BC于N，连结OB、MN，OB交弧EF于P点，根据切线的性质得OF⊥GF，OE⊥DE，OE=OF=1，则ON⊥BC，OM⊥AB，加上OM=ON=3，可判断四边形BMON为正方形，所以OB=

2

OM=3

2

，则BP=OB-OP=3

2

-1，过点P作弧EF的切线分别交AB、BC于Q、R，则QR为木板的最大宽度，利用直角三角形斜边上的中线性质得BP=

1

2

QR，即QR=2BP=（6

2

-2）m．

解答：解：连结OE并延长交AB于M，连结OF并延长交BC于N，连结OB、MN，OB交弧EF于P点，
∵DE、FG分别与弧EF相切于E、F两点，
∴OF⊥GF，OE⊥DE，OE=OF=1，
∴ON⊥BC，OM⊥AB，
∴四边形BMON为矩形，
而OM=ON=1+2=3，
∴四边形BMON为正方形，
∴OB=

2

OM=3

2

，
∴BP=OB-OP=3

2

-1，
过点P作弧EF的切线分别交AB、BC于Q、R，则QR为木板的最大宽度，
∵点P为弧EF的中点，
∴BP=

1

2

QR，
∴QR=2BP=2（3

2

-1）=（6

2

-2）m，
即当木板的宽度不超过（6

2

-2）m时，才能顺利通过此胡同．
故答案为（6

2

-2）．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．