Question

9．已知，在面积为7的梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=4，P为边AD上不与A、D重合的一动点，Q是边BC上的任意一点，连结AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F．则△PEF面积的最大值是（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{3}{8}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 设PD=x，S_△PEF=y．根据平行线的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定，证明△PEF≌△QFE、△AEP∽△AQD、△PDF∽△ADQ，相似三角形的面积比是相似比的平方，再由三角形AQD与梯形ABCD的面积公式求得梯形的高，代入S_△PEF=（S_△AQD-S_△DPF-S_△APE）÷2，得出关于x的二次函数方程，根据顶点坐标公式，求得则△PEF面积最大值．

解答 解：设PD=x，S_△PEF=y，S_△AQD=z，梯形ABCD的高为h，
∵AD=3，BC=4，梯形ABCD面积为7，
∴$\left\{\begin{array}{l}{z=\frac{1}{2}×3×h}\\{7=\frac{1}{2}×（3+4）h}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{h=2}\\{z=3}\end{array}\right.$，
∵PE∥DQ，
∴∠PEF=∠QFE，∠EPF=∠PFD，
又∵PF∥AQ，
∴∠PFD=∠EQF，
∴∠EPF=∠EQF，
∵EF=FE，
∴△PEF≌△QFE（AAS），
∵PE∥DQ，
∴△AEP∽△AQD，
同理，△DPF∽△DAQ，
∴$\frac{{S}_{△AEP}}{{S}_{△AQD}}$=（$\frac{3-x}{3}$）²，$\frac{{{S}_{△}}_{DPF}}{{S}_{△DAQ}}$=（$\frac{x}{3}$）²，
∵S_△AQD=3，
∴S_△DPF=$\frac{1}{3}$x²，S_△APE=$\frac{1}{3}$（3-x）²，
∴S_△PEF=（S_△AQD-S_△DPF-S_△APE）÷2，
∴y=[3-$\frac{1}{3}$x²-$\frac{1}{3}$（3-x）²]×$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{3}$x²+x，
∵y_最大值=$\frac{0-{1}^{2}}{4×（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，即y_最大值=$\frac{3}{4}$．
∴△PEF面积最大值是$\frac{3}{4}$，
故选：D．

点评 本题综合考查了二次函数的最值、三角形的面积、梯形的面积以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质及用含x的代数式表示出三角形的面积是解题的关键．