Question

如图，已知双曲线y=

k

x

经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的一个动点，过点C作CA⊥x轴，过点D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．
（1）求双曲线的解析式；
（2）当△BCD的面积为12时，求直线CD的解析式；
（3）在（2）的条件下，若直线CD与y轴交于点E，猜想四边形ACEB的形状，并说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解；
（2）先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据题意求出点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的解析式，可知与直线CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行．

解答：解：（1）∵双曲线y=

k

x

经过点D（6，1），
∴

k

6

=1，
解得k=6；

（2）设点C到BD的距离为h，
∵点D的坐标为（6，1），DB⊥y轴，
∴BD=6，
∴S_△BCD=

1

2

×6•h=12，
解得h=4，
∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，
∴点C的纵坐标为1-4=-3，
∴

6

x

=-3，
解得x=-2，
∴点C的坐标为（-2，-3），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则

-2k+b=-3 6k+b=1

，
解得

k= 1 2 b=2

，
所以，直线CD的解析式为y=

1

2

x-2；

（3）由

y= 6 x y= 1 2 x-2

，
解得

x1=-2 y1=-3

  

x2=6 y2=1

，
∴C点的坐标（-2，-3），
∴A点的坐标为（-2，0），B点的坐标为（0，1）
∴直线AB的解析式为y=

1

2

x+1
∵AB、CD的解析式k都等于

1

2

，
∴AB与CD的位置关系是AB∥CD．
∵AC⊥x轴，
∴AC∥EB，
∴四边形ACEB为平行四边形．

点评：本题是对反比例函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，三角形的面积的求解，待定系数法是求函数解析式最常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用