Question

18．如图A（-4，0），B（0，4），BD平分∠ABO．

（1）若AE⊥BE，求证：BD=2AE；
（2）若AE⊥BE，求证：OE=AE；
（3）若∠OEB=45°，求证：AE⊥BE；
（4）若∠APO=45°，问PA，PB有何位置关系．

Answer 1

分析 （1）延长AE交BO于点F，由题意得出OA=OB，证出∠AFO=∠BDO，由AAS证明△FAO≌△DBO，得出AF=BD．证出AB=FB，由等腰三角形的三线合一性质得出AE=FE=$\frac{1}{2}$AF，即可得出结论；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得出OE=$\frac{1}{2}$AF=AE即可．
（3）取AB中点M，以为圆心，AM长为半径作圆，那么ABO三点皆在⊙M上；证出∠OEB=∠OAB，得出点E在⊙M上，由圆周角定理得出∠AEB=90°，即可得出结论；
（4）由∠APO=∠OBA，得出点P也在⊙M上，由圆周角定理得出∠APB=90°，即可得出结论．

解答 （1）证明：延长AE交BO于点F，如图1所示：
∵A（-4，0），B（0，4），
∴OA=OB，
∵AE⊥BE，
∴∠AFO+∠OBD=90°，
∵∠BDO+∠OBD=90°，
∴∠AFO=∠BDO，
在△FAO和△DBO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFO=∠BDO}&{\;}\\{∠AOF=∠BOD=90°}&{\;}\\{OA=OB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△FAO≌△DBO（AAS），
∴AF=BD．
在△ABF中，∵AE⊥BE，BE是∠BAF的角平分线，
∴AB=FB，
∴AE=FE=$\frac{1}{2}$AF，
∴BD=2AE；
（2）证明：在RT△AOF中，E是斜边AF的中点，
∴OE=$\frac{1}{2}$AF=AE．
（3）证明：取AB中点M，以为圆心，AM长为半径作圆，如图2所示：
则A、B、O三点皆在⊙M上； 
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠OEB=∠OAB，
∴点E在⊙M上，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BE；
（4）解：∵∠APO=45°，∠APO是劣弧ABO所对的圆周角，且∠APO=∠OBA，
∴点P也在⊙M上，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥PB．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度．