Question

如图，边长为5的菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AE=4．以AE为边向右作正方形AEFG．边GF与CD交于点H，求FH的长．

Answer 1

考点：正方形的性质,菱形的性质

专题：几何综合题,压轴题

分析：根据勾股定理求出BE的长度，再根据菱形的四条边都相等，正方形的四条边都相等分别求出CE、CF、DG的长度，然后判定出△DGH和△CFH相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出GH与FH的比，最后根据GF=AE=4进行计算即可得解．

解答：解：∵菱形ABCD的边长为5，AE⊥BC于点E，AE=4，
∴BE=

AB2-AE2

=

52-42

=3，
∴CE=BC-BE=5-3=2，
∵正方形AEFG以AE=4为边长，
∴CF=4-2=2，DG=5-4=1，
∵菱形ABCD的边AD∥BC，
∴△DGH∽△CFH，
∴

GH

FH

=

DG

CF

=

1

2

，
∴FH=

2

1+2

×4=

8

3

．
故答案为：

8

3

．

点评：本题考查了正方形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，计算出各边的长度，并最后求出GH与FH的比是解题的关键．