Question

19．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕CE=5$\sqrt{5}$，
且AE：AD=3：4．
（1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由；
（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；
（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）结论△OCD与△ADE相似：根据同角的余角相等即可得出∠OCD=∠EDA，由此可证得两三角形相似．
（2）求出C、E点的坐标，根据待定系数法即可解决问题．
（3）应该有两条如图
①直线BF满足条件，根据B、D两点的坐标求出此直线的解析式．
②假设直线DN满足条件，因为△PDM∽△NCM，推出∠PDM=∠NCM，推出∠ODN=∠PCO，所以tan∠PCO=tan∠ODN，得到$\frac{OP}{OC}$=$\frac{ON}{OD}$，即$\frac{16}{8}$=$\frac{ON}{6}$，推出ON=12，然后根据N、D两点的坐标求出直线DN的解析式．

解答 解：（1）△OCD与△ADE相似．
理由如下：
由折叠知，∠CDE=∠B=90°，
∴∠CDO+∠EDA=90°，
∵∠CDO+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠EOA．
又∵∠COD=∠DAE=90°，
∴△OCD∽△ADE．

（2）∵tan∠EDA=$\frac{AE}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
∴设AE=3t，则AD=4t，
由勾股定理得DE=5t，
∴OC=AB=AE+EB=AE+DE=3t+5t=8t．
由（1）△OCD∽△ADE，得 $\frac{OC}{AD}$=$\frac{CD}{DE}$，
∴$\frac{8t}{4t}$=$\frac{CD}{5t}$，
∴CD=10t．
在△DCE中，∵CD²+DE²=CE²，
∴（10t）²+（5t）²=（5 $\sqrt{5}$）²，
解得t=1．
∴OC=8，AE=3，点C的坐标为（0，8），
点E的坐标为（10，3），
设直线CE的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=3}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b+8}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+8，则点P的坐标为（16，0）．

（3）存在．①直线BF满足条件．
∵CE必垂直平分BD，
∴∠DGP=∠CGF=90°，
∵∠CFG+∠FCE=90°，∠DPG+∠FCE=90°
∴∠CFG=∠DPG，
∴△DPG∽△CFG，
∴直线BD符合条件，
∵D（6，0），B（10，8），
∴直线BD的解析式为y=2x-12．

②假设直线DN满足条件，
∵△PDM∽△NCM，
∴∠PDM=∠NCM，
∴∠ODN=∠PCO，
∴tan∠PCO=tan∠ODN，
∴$\frac{OP}{OC}$=$\frac{ON}{OD}$，
∴$\frac{16}{8}$=$\frac{ON}{6}$，
∴ON=12，
∵N（0，12），D（6，0），
∴直线DN的解析式为y=-2x+12．
综上所述，满足条件的直线l有2条：y₁=-2x+12，y₂=2x-12．

点评 本题考查了一次函数的应用、图形的翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，修改用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．