Question

2．线段BD上有一点C，分别以BC、CD为边作等边△ABC和等边△ECD，连接BE交AC于M，连接AD交CE于N，连接MN
（1）求证：∠1=∠2
（2）求证：△CMN是等边三角形．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，推出∠ACD=∠BCE，证得△ACD≌△BCE（SAS），根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）由于∠ACB=∠DCE=60°，得到∠ACN=60°，求得∠ACN=∠BCM=60°，证得△ACN≌△BCM，得到CN=CM，由∠ACN=60°，于是得到结论．

解答 解：（1）∵△ABC和等边△ECD是等边三角形
∴∠ACBB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCD}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD与△BCE（SAS），
∴∠1=∠2；

（2）∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACN=60°，
∴∠ACN=∠BCM=60°，
在△ACN和△BCM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACN=∠BCM}\\{AC=BC}\\{∠1=∠2}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△BCM，
∴CN=CM，
∵∠MCN=180°-∠MCB-∠NCD=180°-60°-60°=60°，
∵CM=CN；
∴△CMN是等边三角形，

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质和判定，证得△ACD与△BCE是解题的关键．